1. 引言

单相接地故障的回路电路如图所示。

由于回路中的等效阻抗较大，限制了放电电流及功率，单相接地故障放电的本质上是辉光放电。

放电电压、电流波形如图2所示。

电阻变化波形，零休处的电阻应较大，还未修正的图如图3所示。

研究土壤接地故障辉光放电，其与高压电气产生的故障电弧，带火花效应的接地极冲击电弧不同之处主要有以下几点：

此放电持续时间长，一个完整的放电周期是工频的半个周波，即包括零休时间是10ms，如果去掉零休时间也达到6~7ms。
在放电的过程中，电压和电流不断的发生变化，即引起辉光放电的场强经历从小变大又从大变小的过程。
接地介质为土壤，土壤是一种导体，但导电性并没有导体那么强，这导致了其有一定的散流电阻，在散流过程中的发热导致其发生热电离，即先导放电，接地点电压越高，先导放电效应越强烈，会向土壤内部深入的更深。
又由于土壤本身的导电性，包裹等离子体的未充分电离的土壤能够导电，这使得电场分布与空气放电不同，没有绝对意义上的地，这种先导放电即不能同空气放电一样发展下去，也不会发生主放电。
先导放电所形成的等离子体通道，相当于向土壤内部插入一根金属导体，这使得从接地点位置看进去的接地电阻变小了，先导放电形成的等离子体通道在电压最大时刻附近最深，等效电阻最小，而此电阻由于串联在电力系统的零序回路中，会反过来影响接地点的电压，其本质上是一种场路的耦合系统。

所以，配电网发生单相土壤弧光接地故障的整个过程可以描述如下：

单相接地故障的辉光放电主要分为2个阶段，第一阶段是初次接地放电，第二阶段是初次放电电弧熄灭后的放电过程

第一阶段，当配电网架空线或电缆中的一相落到土地表面，此时会在导线和土壤的接触点的位置施加一个电压，这在土壤内部产生了电场，当电场强度达到足够高时，此时的土壤是一种导体，所以场强并不需要很高即可开始放电。土壤作为一种空气，固体和液体的混合介质，其中电场主要集中在空气两端，空气首先被电离，产生流注并迅速发展放热，从而发生先导放电，又由于前面所述原因，该放电并不会发展为主放电，所以维持在先导发展阶段，先导放电产生的等离子体通道向土壤内部延申，其延申长度与接地点施加的初始电压以及后续电压变化相关。当在第一阶段中接地电压逐步降低，由于土壤内的散热特性，使得电场已经维持先导放电所需的热量，电弧熄灭。而此时土壤性质被高温所改变，接地点连接着一种电的绝缘体。

第二阶段，由于土壤性质将接地点所接触的土壤变成了绝缘体，所以当电压再次反向升高时，土壤不会第一时间被击穿，而是当电压升高到一定程度，场强大于此介质的击穿电压时，介质被击穿，重复先导放电，随着电压抬升，先导放电强度增强，而当电压越高最大值逐渐变小时，先导放电逐步减弱，在增强和减弱的过程中，引起土壤等效散流电阻的变化。

由于土壤辉光放电的过程持续时间长，土壤辉光放电过程中，其流注发展的时间很短，这与一个完整的放电过程7~8ms相比，是一个极短的过程，几乎可以忽略，所以，研究土壤弧光接地故障的目的是研究土壤接地电阻如何变化，可以通过研究先导放电的发展着手。

首先，研究电力系统中的单相接地故障，参与电力系统电磁暂态仿真，所以建立一个描述土壤电弧发展的等效回路则很重要，目前所提出的等效回路仅考虑接地点的外特性，并未对土壤电弧发展的机理进行等效描述。

其次，土壤内发生的先导放电，由于先导通道周围的土壤为土壤，是电的导体，所以其机理与长间隙空气先导发展机理有所不同，并不能直接应用。

2. 模型

2.1 等效电路

首先，可以做一个近似假设，假设接地导线为电极，大地的绝对零点位处为另一电极，两电极是同心球体，其半径分别为$R_p$和$R_p + D$；D是间隙长度，$R_p$为电极半径，考虑其等于球形电容的一半。

\[C _ { 0 } = 2 \pi \varepsilon _ { o } \frac { ( D + R _ { p } ) R _ { p } } { D } \tag{1}\]

先导放电向土壤内发展为一圆柱体，其可以利用近似的传输线等效网络进行近似模拟。

将先导的发展过程离散化，先导通道向前发展一段，则等效网络向前扩充一个类似$\Pi$型的等效电路，而所需要确定的是每一段网络中的阻抗和导纳的参数。

当先导发展时，在最后一个网络中可推出如下公式

\[L _ { i } \frac { d i _ { i } ( t ) } { d t } = V _ { i - 1 } ( t ) - V _ { i } ( t ) - R _ { i } \dot { \imath } _ { i } ( t ) \tag{2}\] \[i _ { i } ( t ) = C _ { i } ( x ) \frac { d V _ { i } ( t ) } { d t } + G_i(x)V _ { i } ( t ) \tag{3}\] \[i _ { i - 1 } ( t ) - i _ { i } ( t ) = C _ { i - 1 } ( x ) \frac { d V _ { i - 1 } ( t ) } { d t } + G_{i-1}(x)V _ { i -1 } ( t )\tag{4}\]

为建立等效模型，列写出其状态方程。

\[\frac { d X ( t ) } { d t } = A X ( t ) + B U ( t ) \tag{5}\] \[Y ( t ) = C X ( t ) + D U ( t ) \tag{6}\]

其中A、B、C、D分别为系统动力学、控制、观测和直接传输的状态矩阵。$U(t)$和$Y (t)$分别为输入矩阵和输出矩阵。一旦状态向量X被确定，状态矩阵(A, B, C, D)就可以被计算出来，从而获得等效电路拓扑和电路参数。

先导通道刚刚建立时，先导电流为

\[i ( t ) = \frac { V _ { 0 } ( t ) - U ( t ) } { R _ { 0 } } \tag{7}\]

$V_0(t)$和$U_c(t)$分别为$C_0$电容电压和施加到间隙的电压。

2.2 能量输入

注入到先导通道的空间电荷等于基本电荷之和

\[Q ( t ) = \sum _ { 1 } ^ { n } q _ { i } = \sum _ { 0 } ^ { t } C _ { i } V _ { i } ( t ) \tag{8}\]

$V_i(t)$为$C_i$电容电压，n为前导步数。

在先导的发展过程中，总能量$W_t$以不同的形式消耗：热能、电离、辐射等。$W_t$的一部分（动能）将转移到先导通道，使其延长距离$dl_j$。称 $W_c$ 为动能，记做

\[W_c = \beta W_t \tag{9}\]

β 是先导位移所需能量占全部能量的系数。 0 < β ≤ 1 。

在单位时间$dt$内，由于通道发展增加的土壤密度 $ρ$和体积增量 ($\pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j }$) 的乘积就是增加的等离子体的质量：$m = \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j }$（其中$r_j$是分支 j 的半径，气体放电最开始会形成很多枝杈，土壤放电我想先把它简化看成只有1条分支，即j=1）

设通道的半径$r_j$和温度 T 是常数：$r_j = r_0$ 和 $T = T_0$

\[W _ { c } = \frac { 1 } { 2 } \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } v _ { j } ^ { 2 } \tag{10}\]

其中 $v_j$是分支 j 的速度。可以将整个等离子体通道从上到下的发展分成若干个区域，因为每个区域的压力不同，所以质量也不同进行迭代。其中第n次迭代符合

\[\sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } ( \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } ) v _ { j } ^ { 2 } = \beta \sum _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } E _ { j } d l _ { j } \tag{11}\]

其中 $q_j$和 $E_j$ 分别是分支 j 的电荷和电场。因此，先导通道的每个位移$dl_j$对应的速度为

\[v _ { j } ^ { 2 } = \frac { 2 \beta } { \pi r _ { j } ^ { 2 } \rho } ( \int i _ { j } d t ) E _ { j } \tag{12}\]

如果按照仅有一条支路，那么去掉公式（11）中的求和操作，可得新的公式（12）

\[v ^ { 2 } = \frac { 2 \beta } { \pi r ^ { 2 } \rho } E I \Delta t \tag{12}\]

其中，$q = i * t$

土壤的密度一般取2.65g/cm^3。

由此可计算每一步的$\Delta l$的变化，所有的$\Delta l$加在一起，可以求得总的先导放电长度，应该是小于15cm的，再通过其他周波进行横向的验证比对，看一看能否把参数求得一个规律值。

2.3 先导发展的平均速度

在文献中描述先导放电电流由许多离散脉冲构成。

令$t_j$ 为脉冲时间$t_{pj}$与停顿时间$t_{0j}$到下一个脉冲的时间之和所对应的时间，即

\[t _ { j } = t _ { p j } + t _ { 0 j } \tag{13}\]

和$v_{pj}$和 $v_{0j}$，分别是$t_{pj}$和$t_{0j}$期间的速度。设 $v_{al}$ 是先导放电发展的平均速度。

\[v _ { a l } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( v _ { p j } t _ { p j } + v _ { 0 j } t _ { 0 j } ) \tag{14}\]

根据公式（12）

\[v _ { p j } ^ { 2 } = \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } q _ { p j } E _ { j } \tag{15}\] \[v _ { 0 j } ^ { 2 } = \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } q _ { 0 j } E _ { j } \tag{16}\]

将（15）和（16）代入（14）中，得到

\[v _ { a l } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } [ ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } + q _ { 0 j } ^ { 1 / 2 } t _ { 0 j } ) ] \tag{17}\]

$v_{0j}$通常相对于$v_{pj}$可以忽略不计。 $v _ { 0 j }$是在时间$t_{0}$期间先导发展的平均速度。

假设 $r_j$, β, ρ 和 $E_j$ 在整个传播过程中保持不变，发展的平均速度可写作

\[v _ { a l } = ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } + q _ { 0 j } ^ { 1 / 2 } t _ { 0 j } ) ) \tag{18}\]

当忽略$v_{0j}$时，有

\[v _ { a l } \cong ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) ) \tag{19}\]

$E_j$和/或 $q_{pj}$ 越高，先导发展的平均速度就越高。

2.4 等离子体的密度

在高温下，所有气体都可以被认为是完美的。由于先导是高度电离的土壤等离子体 (T ≥ 1000 K) ，还不确定是否可以如此应用气体定律，如果按照完美的气体定律有

\[p V = \frac { m } { M } R T \tag{20}\]

其中 p、V、m、R、T 和 M 分别是压力、体积、通道质量、理想气体常数、温度和通道的摩尔质量。

由于密度 ρ 等于 m/V，可以得到

\[\rho = \frac { M } { R } \frac { p } { T } \tag{21}\]

因此式（21）可以写为

\[\rho ( kg m ^ { - 3 } ) = \frac { k } { T ( K ) R } \tag{22}\]

其中，$k = Mp$

土壤由于深度不同，由于重力的影响，此时压力是变化的，但由于深入土壤的先导通道仅15cm，则认为土壤密度ρ 为常量。

$p = ρ \pi r^2l$

其中，$r$为先导通道半径，$l$为先导通道的深度。

2.5 先导发展头部电场计算

对每一步先导发展来说，场强 $E_j$ 是必不可少的。该场强$E_j$ 与沿通道分布的总电荷有关。 Szpor (1971) 提出了这一假设，可以使用双曲线近似来估计：

\[E _ { j } = \frac { 2 U _ { j } } { R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { z } } { R _ { e } } ) ] } \tag{23}\]

$L_z$和 D 分别是前导轴向长度和间隙长度，$U_j = U − \Delta U_j$是先导尖端上的电压（其中 U 是电极上施加的电压，$\Delta U_j$是沿通道的电压降）和 $R_e$ 等效电极的半径。

$R_e$ 可以表示为等离子长度的线性关系

\[R _ { e } = \alpha L_z \tag{24}\]

按照试验后的土壤挖掘结果，$\alpha \cong 1/10$

2.6 先导放电的平均速度计算

联立式 (19)、(22) 和 (23)

\[v _ { a l } = ( \frac { 4 \beta T _ { 0 } U _ { j } R } { \pi r _ { 0 } ^ { 2 } k R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { z } } { R _ { e } } ) ] } ) ^ { 1 / 2 } \times ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) ) \tag{25}\]

先导的速度取决于先导尖端 $U_j$ 处的电压、其轴向长度 $L_z$ 和其他物理参数，还有参数$\beta$。

3. 等效电路参数

一共有4个参数，分别为电阻，电感，电纳和电导。

3.1 电阻

电阻表征的是先导通道中的电阻，其处于等离子态，其电阻值相当小，再考虑到包裹等离子的土壤为导体，其电阻远大于等离子体内的电阻，故忽略掉。

3.2 电感

电感参考空气先导放电的计算方法，主要分为2部分，一是储存在通道内的电磁能量产生的电感$L1$，二是通过先导通道的电流产生的电感$L2$。

3.2.1 储存在通道内的电磁能量产生的电感

如图所示，假设一个长度为h的通道段，流过这段通道的电流为$I$。

距离$r \leq a$处的磁场相对于通道轴为

\[B ( r ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi r } \frac { I \pi r ^ { 2 } } { \pi a ^ { 2 } } = \frac { \mu _ { 0 } r } { 2 \pi a ^ { 2 } } I \tag{26}\]

所储存的电磁能的密度为

\[\delta \omega ( r ) = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } B ^ { 2 } ( r ) \tag{27}\]

或者

\[\delta \omega ( r ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 8 \pi ^ { 2 } } I ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } } { a ^ { 4 } } \tag{28}\]

假设恒流I，段通道中存储的总电磁能量为

\[W = 2 \pi h \int _ { 0 } ^ { a } \delta \omega ( r ) r d r \tag{29}\]

由于

\[W = \frac { \mu _ { 0 } } { 16 \pi } I ^ { 2 } h \tag{30}\]

另一方面，这种能量也可以表示为

\[W = \frac { 1 } { 2 } L _ { 1 } I ^ { 2 } \tag{31}\]

由式(30)和式(31)可以推导出L1

\[L _ { 1 } = \frac { I } { 4 } \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } h \tag{32}\]

3.2.2 先导通道内的电流产生的电感

设$D_f$是距离导线的距离，在这一点上电场被认为是零。考虑图中所示的通道前一段的纵向部分。距离$r (a < r < D_f)$处的磁场定义为

\[B ( r ) = \frac { \mu _ { 0 } I } { 2 \pi r } \tag{33}\]

则根据(28)，所储存的电磁能的密度为

\[\delta \omega ( r ) = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } I ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } = \frac { \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } \tag{34}\]

考虑$I$为常数，总存储电磁能为式(32)

\[W = \frac { 2 \pi h \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { a } ^ { D f } \frac { d r } { r } = \frac { h \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 4 \pi } \operatorname { ln } [ \frac { D f } { a } ] \tag{35}\]

另一方面，这种能量可以表示为

\[W = \frac { 1 } { 2 } L _ { 2 } I ^ { 2 } \tag{36}\]

因此，由式(35)和式(36)

\[L _ { 2 } = \frac { \mu _ { 0 } h } { 2 \pi } \operatorname { ln } [ \frac { D f } { a } ] \tag{37}\]

根据(32)和(37)，整个系统的电感为

\[L = \frac { \mu _ { 0 } h } { 2 \pi } [ \frac { 1 } { 4 } + \operatorname { ln } ( \frac { D f } { a } ) ] \tag{38}\]

所以，通道的单位长度电感$L_u(H/m)$是

\[L _ { u } = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } [ 0.25 + \operatorname { ln } ( \frac { D f } { a } ) ] \tag{39}\]

3.3 电纳即对地电容

由于先导通道特别短，且直接在土壤里面，虽然理论上会存在相对绝对零点位地的电容，但特别小，此处忽略掉。

3.4 电导

电导的计算是该模型中最重要的部分，因为整个等效电路，其端口参数主要表征的为此电导参数。

如果说ab为先导通道，m为绝对0电位点，周围的土壤电阻率为$\rho$，则m点处的电阻为$\rho r / 4 \pi r^2$，即土壤电阻率乘以到m点的距离并除以r为半径的球体表面积。则m处的电位为

\[\psi ( m ) = \frac { \rho } { 4 \pi } \int _ { a } ^ { b } \frac { I ( p ) } { r ( p , m ) } d l \tag{40}\]

将先导通道分为n个$\Delta l$长度的单元，单元（j-1，j）内的散流电流$I$近似为线性分布，即

\[I ( z ) = I_{j-1} + ( z - ( j - 1 ) \Delta l ) ( I_j - I_ { j- 1 } ) / \Delta l \tag{41}\]

其中，$( j - 1 ) \Delta l < z < j \Delta l$

设每段先导通道半径为R，电流沿先导通道表面均匀分布，则相应单元表面上的流散电流密度为

\[\sigma ( x , y , z ) = ( I_{ j - 1 } - I _ { j } ) / \pi R ^ { 2 } \Delta l \tag{42}\]

在土壤中任意点$m ( x _ { m } , y _ { m } , z _ { m } )$处产生的点位为

\[u_{ab}(x_m,y_m,z_m) = \frac { \rho } { 4 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } (\int _ { (j-1)\Delta t } ^ { j \Delta t} \int _ { 0 } ^ { 2 \pi }\int _ { 0 } ^ { R } \frac { I_{j-1} - I_j } { \pi R^2 \Delta l S} \times rdrd\theta dz + \int _ { (j-1)\Delta t } ^ { j \Delta t} \int _ { 0 } ^ { 2 \pi }\int _ { 0 } ^ { R } \frac { ( I_{j-1} - I_j) rdrd\theta dz } { \pi R^2 \Delta l S }),j = 0,1,2,...n \tag{43}\] \[S = \sqrt { ( x - x _ { m } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { m } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { m } ) ^ { 2 } } \tag{44}\]

各节点上的电位方程组成的方程组形式为$A I = U$

解方程组求得各节点电流值，即可计算接地网流出的电流大小，并算出该接地网的接地电阻值$R = U/I$

4 计算过程

一个周波的电阻变化曲线如图所示

将先导放电发展过程提取出来，从192点到563点。

电导最大值为0.0044S，电导最小值为$2.021*10^{-4}S$，对应电阻5000Ω。

可以假定接地电阻最小值为55Ω，即先导发展最长位置的接地电阻。

4.1 计算191~192点

首先，假设在接地电阻为5kΩ时，未发生散流，所有能量均变为流注通道，按照此时的能量估算等离子体通道发展所需能量。

另一个假设，就是先导通道的单位长度对应的散流电导是固定的，即先导通道长度与散流电导是线性的关系。

\[\Delta G = \Delta l * \alpha = (G_{max} - G_{min}) / 20000\]

这里人为定义一个单位长度的分辨率，将整个发展过程分为20000份。

那么$G_{min}$位置对应的电导即先导通道的初始电导，认为此时的先导长度完全由注入能量说转化，没有散流到土壤当中。

那么$P1 = U_{start} ^2 * G_{min} * \Delta t$

求得P1 = 0.0102（J）

对应初始时刻的先导长度，$l_{start} = G_{min} / \Delta G = 0.6830cm$

4.2 计算192~193点

$W193 = U_{193} ^2 * G_{193} * \Delta t = 0.0103（J）$

其中先导发展的长度为

$l_{193} = 0.0099cm$

先导发展这些距离所需能量为$W193t = l{193} / l_{start} * 0.0102 = 1.4784*10^{-4}（J）$

$\beta = W193_t / W193 = 0.0144$

4.3 计算散流能力

再做假设，单位长度先导通道的散流能力(包括电流及热辐射等能量形式)是固定的，随着注入电流的增加，其原本长度的先导通道的散流能力固定。

计算到193点时，总的先导长度为0.6929cm，192点之前的能量全部用来形成先导通道，而在在192~193点间隔期间的能量为新增能量，其中一部分通过之前的先导通道散流出去，另外散流不出去的能量需要增长先导通道长度。

增长先导通道长度所需能量为$W193t = l{193} / l_{start} * 0.0102 = 1.4784*10^{-4}（J）$

那么剩余能量为$W193 - W193t = 0.101（J）$

即可以认为0.6929cm的先导通道，单位时间内其散流能力为0.101（J）

4.4 正向计算

按照以上数据进行正向计算。电压电流使用注入电压电流，利用前3章所述公式进行计算，并用4.1~4.3所分析的数据进行验证。其中每一个点为单位时间10us内的能量。

其发展趋势能够保持一致，下一步需要继续确定土壤参数。

5 过程记录

figure(7) plot(W_t_Ej*4.15) hold on; plot(W_delta) title(‘土壤散流能量曲线’) xlabel(‘点数（100000Hz）’) ylabel(‘散流能量（J）’) legend(‘计算’,’实际’)

注意乘以了一个4.5后，结论很曲线很吻合。

寻找为什么会出现这个系数

是由于先导发展的头部电场计算值所引起的。

那么如何合理确定先导发展头部的电势呢？还是可以通过电导的计算而求得。