萨哈方程给出了自由粒子和绑定在原子中的粒子之间的关系，为了推导出萨哈方程，选择一组一致的能量。当电子速度为零的时候，电场强度$E = 0$，所以，对于$n = 1$时，电场强度$E = -I$。忽略更高能级，因为根据玻尔兹曼公式，电子只需要能级$n = 2$的1/4的能力即可以发生电离。
\[E = \frac { Z } { n ^ { 2 } } ( - 13.6 eV ) \tag{1}\]设一个特定的气体N中有$N_e$个电子的概率为$S ( N _ { e } , N )$。每类粒子的分配函数为
\[Z _ { e } \equiv \sum _ { n } e ^ { - E ( n ) / ( k T ) } \tag{2}\] \[Z _ { p } \equiv \sum _ { n } e ^ { - E ( n ) / ( k T ) } \tag{3}\] \[Z _ { H } \equiv \sum _ { n } e ^ { - E ( n ) / ( k T ) } \tag{4}\]因此，假设粒子无差别，概率函数为：
\[S ( N _ { e } , N ) = \frac { Z _ { e } ^ { N _ { e } } } { N _ { e } ! } \frac { Z _ { p } ^ { N _ { p } } } { N _ { p } ! } \frac { Z _ { H } ^ { N _ { H } } } { N _ { H } ! } \tag{5}\]由于粒子具有连续的动量分布，所以概率函数求和执行积分操作
\[Z _ { i } = \int g _ { i } e ^ { - [ p ^ { 2 } / ( 2 m ) ] / ( k T ) } \frac { d ^ { 3 } x d ^ { 3 } p } { h ^ { 3 } } \tag{6}\]其中$i$是$e$或$p$。
\[d ^ { 3 } p = 4 \pi p ^ { 2 } d p \tag{7}\]则可以推出
\[Z _ { i } = \frac { 4 \pi g _ { i } } { h ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } x \int _ { 0 } ^ { \infty } p ^ { 2 } e ^ { - [ p ^ { 2 } / ( 2 m ) ] / ( k T ) } d p \tag{8}\]设
\[y ^ { 2 } \equiv \frac { p ^ { 2 } } { 2 m k T } \tag{9}\] \[2 y d y = \frac { p } { m k T } d p \tag{10}\] \[p d p = 2 m k T y d y \tag{11}\]则
\[\left. \begin{array} { l }{ Z _ { i } = \frac { 4 \pi g _ { 1 } V } { h ^ { 3 } } ( 2 m k T ) ^ { 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 2 m k T ) y ^ { 2 } e ^ { - y ^ { 2 } } d y }\\{ = 4 \frac { \pi g _ { 1 } V } { h ^ { 3 } } ( 2 m k T ) ^ { 3 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { 2 } e ^ { - y ^ { 2 } } d y }\\{ = 4 \frac { \pi g _ { 1 } V } { h ^ { 3 } } ( 2 m k T ) ^ { 3 / 2 } \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } }\\{ = \frac { g _ { i } V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m k T ) ^ { 3 / 2 } } \end{array} \right. \tag{12}\]由于电子和质子都是费米子。
\[g _ { e } = g _ { p } = 2 \tag{13}\]由于
\[Z _ { e } = \frac { 2 V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } \tag{14}\] \[Z _ { p } = \frac { 2 V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { p } k T ) ^ { 3 / 2 } \tag{15}\]则，除了结合能项是通过假定$g_H = 4$外，$Z_H$的推导结果是固定的。
\[Z _ { H } = \frac { 4 V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { H } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { I / ( k T ) } \tag{16}\]我们想找到最可能的状态，所以应该对公式(2)进行微分。然而，由于$ln(x)$是单调函数，$lnf(x)$和$f(x)$将在同样位置存在最大值。因此，对公式（5）取log操作，并利用斯特林近似以及$n \gg 1$可得。
\[\operatorname { ln } n ! \approx n \operatorname { ln } n - n \tag(17)\]则结果有
\[\left. \begin{array} { l }{ \operatorname { ln } S = N _ { e } \operatorname { ln } Z _ { e } + N _ { p } \operatorname { ln } Z _ { p } + N _ { H } \operatorname { ln } Z _ { H } - N _ { e } \operatorname { ln } N _ { e } }\\{ + N _ { e } - N _ { p } \operatorname { ln } N _ { p } + N _ { p } - N _ { H } \operatorname { ln } N _ { H } + N _ { H } . } \end{array} \right. \tag{18}\]定义
\[N _ { e } \quad = \quad N _ { p } \tag{19}\] \[N _ { H } = N - N _ { e } \tag{20}\]对式（18）进行微分
\[\left. \begin{array} { l }{ \frac { d ( \operatorname { ln } S ) } { d N _ { e } } = \operatorname { ln } Z _ { e } + \operatorname { ln } Z _ { p } - \operatorname { ln } Z _ { H } }\\{ - \operatorname { ln } N _ { e } - \operatorname { ln } N _ { e } + \operatorname { ln } ( N - N _ { e } ) = 0 } \end{array} \right. \tag{21}\]得到如下关系式
\[\frac { Z _ { e } Z _ { p } } { Z _ { H } } = \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { N - N _ { e } } \tag{22}\]将公式（14）~（16）带入式（22）中
\[\frac { [ \frac { 2 V ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } ] [ \frac { 2 V ( 2 \pi m _ { p } k T ) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } ] } { [ \frac { 4 V ( 2 \pi m _ { H } k T ) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } ] e ^ { I / ( k T ) } } = \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { N - N _ { e } } \tag{23}\]假设$m _ { H } \approx m _ { p }$
\[\frac { V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - I / ( k T ) } = \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { N - N _ { e } } \tag{24}\] \[\frac { ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - I / ( k T ) } } { h ^ { 3 } } = \frac { n _ { e } ^ { 2 } } { n - n _ { e } } \tag{25}\]定义电离分数为
\[X \equiv \frac { n _ { e } } { n } \tag{26}\]则
\[\frac { X ^ { 2 } } { 1 - X } = \frac { 1 } { n h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - I / ( k T ) } \tag{27}\]