The Calculus You Need
学习微分方程需要用到一些前置的知识，主要有以下几方面
1. 特殊的一些函数的微分
$x^n$ $sin(x)$ $cos(x)$ $e^x$ $ln(x)$
清楚以上特殊函数的微分。
2. 微分操作定律
$f+g$ $f(x)+g(x)$ $\frac { f ( x ) } { g ( x ) }$ $f(g(x))$
清楚以上方程式的微分。
3. 一个求解公式
用$y ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { t - s } 2 ( s ) d s$用来求解$\frac { d } { d x } \int _ { 0 } ^ { x } y ( t ) d t = y ( x )$
我们可以对其证明，对左边的式子左右两端进行微分。
$\frac { d y ( t ) } { d t } = \frac { d } { d t } \left( e ^ { t } \cdot \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - s } q ( u ) d s \right)$
得到
$\frac { d y ( t ) } { d t } = e ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - s } g ( x ) d s + g(t)$
即
$\frac { d } { d x } \int _ { 0 } ^ { x } y ( t ) d t = y ( x )$
4. Taylor级数
我们用一阶导数来形容斜率，我们用二阶导数来形容bending，我们用三阶导数以及更高阶导数去修正曲线，在$t+\Delta t$这段，也就是$\frac{df}{dt}$段更加拟合原函数$f(x+\Delta t)$
$f(t+\Delta t) = f(t) + \Delta t \frac {df(t)}{dt} + \frac{1}{2}(\Delta t)^2 \frac{d^{2}t}{dt^{2}}+ \cdots + \frac { 1 } { n ! } ( \Delta t ) ^ { n } \frac { d ^ { n } f } { d t ^ { n } } + \cdots$