一个常规的微分方程。
$\frac { d y } { d t } = a y + e ^ { s t }$ $y = y(0) at t = 0$ Look for $y_p = Ye^{st}$
把$\frac { d y } { d t }$比做银行的钱的增长率，$y$就是银行的利息，$e ^ { s t }$代表挣到的钱，是指数形式的，$s$代表souce，源，t代表时间。
带入$y_p = Ye^{st}$，得到$Y = \frac {1}{s-a}$
则 $y(t) = \frac{e^{st}}{s-a} + null solution$
null solution的意思是，输入项没有了，也就是$e^{st} = 0$，求$\frac { d y } { d t } = a y$，得$y = e^{at}$
所以，通解
$y(t) = \frac{e^{st}}{s-a} + Ce^{at} = y_p + y_n\tag{1}$
y_p意思是y_particular，y_n意思是y_null。
将$y = y(0) at t = 0$带入得特解
$y(0) = \frac {1}{s-a} + C$
则$C = y(0) - \frac {1}{s-a}$，带回（1）得，将y(0)单独提出来
$\begin{aligned} y ( t ) &\left. = \frac { e ^ { s t } } { s - a } + \left[ y ( 0 \right) - \frac { 1 } { s - a } \right] e ^ { a t } \ & = \frac { e ^ { s t - e ^ { a t } } } { s a } + y ( 0 ) e ^ { a t } \ & = y_{vp} + y_n \end{aligned}$
y_vp是y_very particular。
特接并不唯一。
这个null solution很好，可以看做是从初始状态开始的一个变化，并包含初始状态信息。
这个特别的解很好，有这样的性质，当t=0时，特解同时=0，这样就得到了通解。
但是有一个例外，当s=a时，分母为0，同时分子也为0，这时，就出现了震荡（Resonance）。这时候需要用到洛必达（L‘ Hopital）法则。
IF s = a，then
$y_{vp}+y_n = t e^{at} + y(0)e^{at}\tag{2}$
由此得到公式(2)中的特解部分。