本文对大气隙中正放电的研究提出了新的贡献。 提出了一个模型，可以使用由 Beroual 教授的小组开发的用于长时间正负放电的电路模型来确定非标准几何中的电压 U50 和 k 因子。 该模型基于等效电路图，其参数根据前导通道特性和放电的几何/形态随时间变化。 前导的传播基于与其头部电场计算相关的标准，并考虑了放电路径的随机性。 正如文献中发现的大多数模型一样，该模型仅适用于点平面型电极间隙。 本文由两部分组成：（1）第一部分，介绍了如何将所提出的模型扩展到复杂的几何形状，例如杆-杆电极的间隙； (2) 第二部分介绍了我们对杆平面和杆几何结构进行的实验测试。 实验结果，特别是 U50 和 k 因子的值与从我们的模型推导出的模拟结果进行了比较，对于两种类型的电压波形：雷电脉冲形状和开关脉冲形状（准确地说是临界脉冲形状）。
本文对整个放电模型进行了尝试。该模型建立在等效电网络的基础上，电网络的参数由电磁场和气体放电理论确定。它利用了放电通道可以比作长导体的事实，并对单个导体线采用典型的LCR表示。对于放电的所有阶段，采用相同的电路来模拟变电阻和变电感的阶段变化。对于给定的形状和电极配置，该模型允许我们确定先导电流和回程、相应的电荷、沿先导通道的电位降、注入间隙的功率和能量以及先导传播速度。得到的结果与实验室中产生的长气隙放电的实验结果一致。
了解长气隙T放电的物理机制和表征这种放电的参数对解决各种工程问题是必要的。事实上，高压输电系统面临两种主要类型的电介质应力:由雷击引起的电介质应力和由网络本身运行引起的电介质应力(开关电介质应力)。后者在工程系统尺寸方面具有相当大的经济影响。因此，似乎有必要了解气隙在遇到开关浪涌时的行为。
从实验和理论上获得了关于击穿过程的大量物理知识。事实上，可用的放电模型的作用正在不断增加。大量的工作已经投入到分析不同的参数表征放电，如电流，电荷，传播模式，速度和辐射电磁场。
实际上，有许多数学模型11-61描述了在每个放电阶段(第一电晕开始、流光传播、先导形成、先导传播、最后跳跃、回程)发生的物理过程。然而，所有这些模型都局限于单相，不能组合成一个能够预测给定电压下给定间隙的行为的通用模型。这种困难是由于气体放电中所涉及的现象的复杂性造成的。对各个阶段的描述已在许多出版物中报道[l, 3,4,7]。我们现在只回顾其主要特点。
第一电晕是第一个可见的电离过程，它以丝状通道或流光的形式出现。由于电晕的增长，一个净正电荷迅速地注入到缺口中。在日冕流光的根部，可以观察到一条短而明亮的通道:茎。从后者，形成一段领导信道。在击穿长气隙中最重要的现象只出现在先导传播开始之后。在某些条件下，它之后是一个或多个黑暗时期。根据所施加的电压值，先导传播不一定导致击穿。最后一跳是先导传播的最后阶段，不可避免地会导致间隙短路。当第一束冕流到达飞机时就开始了。
接下来，我们利用LCR线将整个放电现象(先导阶段、末跳阶段和回程阶段)分别由电磁场、气体放电理论和物理定律确定的电感、电容和电阻，建立一个完整的简化模型。对于给定的形状和电极结构，我们确定了先导和回程的电流、相应的电荷、沿先导通道的电位降、注入间隙的功率和能量。然后，对前导传播中涉及的物理现象进行准确的评估，特别是使用能量平衡，以便以更完整的方式确定前导传播速度。所得结果与实验数据进行了比较。
我们已经知道，电路模型在理解等离子体和一些相关过程中发挥了重要作用[5,6,8-10]。在下文中，我们假设放电可以用一个等效的电网表示为如图1所示[6,10]，其中$R_0$为平面电极电阻。 在这项工作中，我们将使用的价值100Ω [6,10], $C_0$可以通过球形近似估计，假设两个电极是同心球体，其半径分别为$R_p$和$R_p + D$；D是间隙长度，$R_p$为电极半径，考虑其等于球形电容的一半
当先导传播时，激发的电位波和电流为
\[L _ { i } \frac { d i _ { i } ( t ) } { d t } = V _ { i - 1 } ( t ) - V _ { i } ( t ) - R _ { i } \dot { \imath } _ { i } ( t ) \tag{2}\] \[i _ { i } ( t ) = C _ { i } ( x ) \frac { d V _ { i } ( t ) } { d t } \tag{3}\]另一方面，我们有
\[i _ { i - 1 } ( t ) - i _ { i } ( t ) = C _ { i - 1 } ( x ) \frac { d V _ { i - 1 } ( t ) } { d t } \tag{4}\]对于建模，我们使用“状态表示”。这包括将一阶微分方程组中的电路方程写成如下形式
\[\frac { d X ( t ) } { d t } = A X ( t ) + B U ( t ) \tag{5}\] \[Y ( t ) = C X ( t ) + D U ( t ) \tag{6}\]其中A、B、C、D分别为系统动力学、控制、观测和直接传输的状态矩阵。U(t)和Y (t)分别为输入矩阵和输出矩阵。
一旦状态向量X被确定，状态矩阵(A, B, C, D)将被计算知道拓扑和电路参数的值。
将式(2)、式(3)代入式(4)即可得到电压。那么，主导电流将是
\[i ( t ) = \frac { V _ { 0 } ( t ) - U ( t ) } { R _ { 0 } } \tag{7}\]$V_0(t)$和$U_c(t)$分别为$C_0$电容电压和施加到间隙的电压。注入缝隙的空间电荷等于基本电荷之和
\[Q ( t ) = \sum _ { 1 } ^ { n } q _ { i } = \sum _ { 0 } ^ { t } C _ { i } V _ { i } ( t ) \tag{8}\]$V_i(t)$为$C_i$电容电压，n为前导步数。
从瞬时电压Uj和高压电流I的数字样本中，通过过度计算得到注入间隙的功率Pj和能量Wj
\[P _ { j } = U _ { j } I _ { j } \tag{9}\] \[W _ { j } = \sum _ { 0 } ^ { i } U _ { j } I _ { j } d t \tag{10}\]其中dt是所选数字样本之间的间隔，等于计算中的$10^{-6}s$。
总动能Wj的一部分转移到先导通道，使先导通道可以延长dlj的距离。注入通道的质量等于气体密度$\rho$与体积增量$\pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } $的乘积。
称为$\beta$，总能量的分数部分Wj用于先导传播，我们可以写出每个位移的先导$ d l _ { j } $
\[\frac { 1 } { 2 } \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } \nu _ { j } ^ { 2 } ( t ) = \beta d W _ { j } ( t ) \tag{11}\]$0 < \beta \leq 1$，其中$r_j$和$v_j (t)$分别为导叶尖端半径和速度。
在高温下，所有的气体都被认为是完美的。由于先导是一个高电离等离子体(t3 1000k)[1,11]，因此可以应用完美的气体定律。因此
$p V = \frac { m } { M } R T\tag{12}$
其中，V, m, R, T, m分别是压力，体积，通道质量，理想气体常数，温度和通道的摩尔质量。因为密度p = m/V，它变成
$\rho = \frac { M p } { R T } \tag{13}$
leader处于非爆炸阶段，leader的压力可以认为是常数[4,11]，近似等于大气压力[1]。因此
$\rho = \frac { k } { T R } \tag{14}$
$\rho$的单位是$kg/m^3$, T的单位是k。在这种情况下，R是温度相关的[12]，k = Mp。
由于$dl_j = v_j (t)dt$，并且假设导叶尖端有半径$T_0$和温度$T_0$，我们将有
\[\nu _ { j } ( t ) = [ \frac { 2 \beta T _ { 0 } R d W _ { j } ( t ) } { k \pi r _ { 0 } ^ { 2 } d t } ] ^ { 1 / 3 } \tag{15}\] \[\nu _ { j } ( t ) = [ \frac { 2 \beta T _ { 0 } R } { k \pi r _ { 0 } ^ { 2 } } P _ { j } ( t ) ] ^ { 1 / 3 } \tag{16}\]总能量$\beta$转化为动能的那部分已经在别处估计过了[12]。我们发现$\rho = 0.1$。
在每一次的时候都可以计算注入间隙的能量(或功率)，考虑到具体情况在电压和间隙几何等条件下，将有可能计算出前导子的传播速度。
我们已经知道，放电的电流和电荷(先导和回程)取决于在电极间隙处施加的电压。在下面，我们考虑一个类似于文献[4，11]中使用的脉冲电压，以便将我们的结果与这些作者获得的结果进行比较。这种电压的形式是一个双指数脉冲。Marx发生器用于产生这种双指数脉冲，即在不同峰值电压下的正开关脉冲。双指数电压的表达式可以用单级脉冲发生器电路得到。它由一个电容$C_g$组成，它被充电到所需的电压，然后通过一个电路放电，电路的常数可以调整，从而得到所需形状的脉冲电压。单级发电机的基本电路如图2所示。元件$R_g$和$C_g$控制前面，$R_g$和$C_g$，尾部的冲击电压。通过对电路的分析(如图2所示)，我们可以得到输出电压$U_c(t)$的表达式。
\[U _ { c } ( t ) = \frac { U _ { 0 } } { R _ { e } C _ { c } } \frac { T _ { a } T _ { b } } { T _ { a } - T _ { b } } [ \operatorname { exp } ( - \frac { t } { T _ { a } } ) - \operatorname { exp } ( - \frac { t } { T _ { b } } ) ] \tag{17}\]其中$T_a$，$T_b$，$T_2$, $U_0$分别为上升时间，下降时间，到1 / 2的时间和振幅因子。
为了确定$U_c (t)$，我们使用图3中给出的框图。图中所示的关系已在以前的著作中阐明。由此可知，放电的时空参数(电流，电荷，…)需要了解$L_i$、$C_i$和$R_i$元素(参见图1)。
在先导传播过程中，其通道充当电阻电极，其特性由欧姆加热和气体动态膨胀控制[1,4]。假设通道为圆柱形，单位长度的电阻将由
\[\lambda = \frac { 1 } { \sigma \pi a ^ { 2 } ( t ) } \tag{18}\]$\rho$和$a(t)$分别为导星电导率和通道半径。从实验数据推导出导频通道半径$a(t)$的演化过程。然而，领导者的电导率是通过图4得到的，图中特征$\rho = f(I)$给出了电导率作为输入电流的函数，由Les RenardiPres组[4]绘制。
最后的跳跃代表了先导条件从非LTE(局部热力学平衡)特性到火花通道LTE特性的转变。这位领导人似乎在更短的时间内改变了内部条件。在这里，它将对应最后一个单元(图1)和较低的单位长度电阻的领导者。最后跳跃时单位长度阻力的变化将由实验数据[1]给出。
关于返回冲程阶段，我们知道[l]在火花中，等离子体处于LTE状态:气体分子完全游离，通过通道的温度是均匀的。这个阶段对应于在先导传播期间注入间隙的电荷的中和。通道半径由相等的、相互抵消的磁力和动能维持。
高电离气体的电导率为$\rho = 1.5 x 10^{-5}T^{3/2} ( \Omega^{-1} cm^{-1}) $[5]。根据Gallimberti [1]，在回程中，长气隙通道内的温度为 20000 K。
注意，在先导阶段，电感是可以忽略的。因此，计算将执行的回程情况。
为了确定通道的电感，使用图5所示的简化方法[5]。结束效果被忽略。通道的电感是两个电感之和，即存储在通道L1中的电磁能量产生的电感(内电感)和辐射产生的电感通过通道的电流的电磁场L2。
考虑一个高度为h的通道段，如图6所示。我们称I为流过这段的电流。距离$r \leq a$处的磁场相对于通道轴为
\[B ( r ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi r } \frac { I \pi r ^ { 2 } } { \pi a ^ { 2 } } = \frac { \mu _ { 0 } r } { 2 \pi a ^ { 2 } } I \tag{19}\]所储存的电磁能的密度为
\[\delta \omega ( r ) = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } B ^ { 2 } ( r ) \tag{20}\]或者
\[\delta \omega ( r ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 8 \pi ^ { 2 } } I ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } } { a ^ { 4 } } \tag{21}\]假设恒流I，段通道中存储的总电磁能量为
\[W = 2 \pi h \int _ { 0 } ^ { a } \delta \omega ( r ) r d r \tag{22}\]由于
\[W = \frac { \mu _ { 0 } } { 16 \pi } I ^ { 2 } h \tag{23}\]另一方面，这种能量也可以表示为
\[W = \frac { 1 } { 2 } L _ { 1 } I ^ { 2 } \tag{24}\]由式(23)和式(24)可以推导出L1
\[L _ { 1 } = \frac { I } { 4 } \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } h \tag{25}\]
设$D_f$是距离导线的距离，在这一点上电场被认为是零。考虑图7中所示的通道前一段的纵向部分。距离$r (a < r < D_f)$处的磁场定义为
\[B ( r ) = \frac { \mu _ { 0 } I } { 2 \pi r } \tag{26}\]则根据(20)，所储存的电磁能的密度为
\[\delta \omega ( r ) = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } I ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } = \frac { \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } \tag{27}\]考虑$I$为常数，总存储电磁能为式(22)
\[W = \frac { 2 \pi h \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { a } ^ { D f } \frac { d r } { r } = \frac { h \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 4 \pi } \operatorname { ln } [ \frac { D f } { a } ] \tag{28}\]另一方面，这种能量可以表示为
\[W = \frac { 1 } { 2 } L _ { 2 } I ^ { 2 } \tag{29}\]因此，由式(28)和式(29)
\[L _ { 2 } = \frac { \mu _ { 0 } h } { 2 \pi } \operatorname { ln } [ \frac { D f } { a } ] \tag{30}\]根据(25)和(30)，整个系统的电感为
\[L = \frac { \mu _ { 0 } h } { 2 \pi } [ \frac { 1 } { 4 } + \operatorname { ln } ( \frac { D f } { a } ) ] \tag{30}\]根据(25)和(30)，整个系统的电感为
\[L = \frac { \mu _ { 0 } h } { 2 \pi } [ \frac { 1 } { 4 } + \operatorname { ln } ( \frac { D f } { a } ) ] \tag{31}\]所以，通道的单位长度电感$L_u(H/m)$是
\[L _ { u } = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } [ 0.25 + \operatorname { ln } ( \frac { D f } { a } ) ] \tag{32}\]注意，对于瞬态字段，Df应该保持较大。分数误差的数量级为l/Zn(D/a)[5]。这是非常小的，因为D f » a。这里提出的工作是关于在实验室中产生的长气隙中的排放。我们取Df = 100 m进行计算。
电容Ci是通过一个简单的模型[6,10]得到的，即球形近似。该模型将先导体表示为等离子体通道，其周围包裹着由上述流线引起的电荷。该模型包括假定出料头和面为两个同心圆，由立体角$\Gamma$定义。这两个球体之间的距离随放电的传播而变化(图8)。
考虑到立体角$\Gamma = 2 \pi (1 - cos \theta)< 4 \pi$，电容表达式为
\[C _ { i } = \Gamma \varepsilon _ { o } \frac { D x _ { i } } { D - x _ { i } } = \frac { 4 \pi \varepsilon _ { o } } { \alpha } \frac { D x _ { i } } { D - x _ { i } } \tag{33}\]其中
\[\alpha = \frac { 4 \pi } { \Gamma } \tag{34}\]结果表明，模拟结果与实验结果一致的$\alpha$值为$\alpha = 30$[6,10]
然而，有必要知道施加的电压U(t)，放电步长$x_i$和它们的数量，在最后跳跃。
为了验证我们的模型，让我们考虑两个由Les Renardieres [4]和P. Domens [1]进行的实验数据的例子，我们知道施加电压的形状、电极的几何形状和相应的电流(或电荷)。从每一种情况对应的条纹照片可以推导出步长$x_i$。
单相接地故障的回路电路如图所示。
由于回路中的等效阻抗较大，限制了放电电流及功率，单相接地故障放电的本质上是辉光放电。
放电电压、电流波形如图2所示。
电阻变化波形，零休处的电阻应较大，还未修正的图如图3所示。
研究土壤接地故障辉光放电，其与高压电气产生的故障电弧，带火花效应的接地极冲击电弧不同之处主要有以下几点：
所以，配电网发生单相土壤弧光接地故障的整个过程可以描述如下：
单相接地故障的辉光放电主要分为2个阶段，第一阶段是初次接地放电，第二阶段是初次放电电弧熄灭后的放电过程
第一阶段，当配电网架空线或电缆中的一相落到土地表面，此时会在导线和土壤的接触点的位置施加一个电压，这在土壤内部产生了电场，当电场强度达到足够高时，此时的土壤是一种导体，所以场强并不需要很高即可开始放电。土壤作为一种空气，固体和液体的混合介质，其中电场主要集中在空气两端，空气首先被电离，产生流注并迅速发展放热，从而发生先导放电，又由于前面所述原因，该放电并不会发展为主放电，所以维持在先导发展阶段，先导放电产生的等离子体通道向土壤内部延申，其延申长度与接地点施加的初始电压以及后续电压变化相关。当在第一阶段中接地电压逐步降低，由于土壤内的散热特性，使得电场已经维持先导放电所需的热量，电弧熄灭。而此时土壤性质被高温所改变，接地点连接着一种电的绝缘体。
第二阶段，由于土壤性质将接地点所接触的土壤变成了绝缘体，所以当电压再次反向升高时，土壤不会第一时间被击穿，而是当电压升高到一定程度，场强大于此介质的击穿电压时，介质被击穿，重复先导放电，随着电压抬升，先导放电强度增强，而当电压越高最大值逐渐变小时，先导放电逐步减弱，在增强和减弱的过程中，引起土壤等效散流电阻的变化。
由于土壤辉光放电的过程持续时间长，土壤辉光放电过程中，其流注发展的时间很短，这与一个完整的放电过程7~8ms相比，是一个极短的过程，几乎可以忽略，所以，研究土壤弧光接地故障的目的是研究土壤接地电阻如何变化，可以通过研究先导放电的发展着手。
下面是一种借鉴空气先导发展模型而提出的一种基于能量的土壤先导放电发展模型
在先导的发展过程中，总能量$W_t$以不同的形式消耗：热能、电离、辐射等。$W_t$的一部分（动能）将转移到先导通道，使其延长距离$dl_j$。 称 $W_c$ 为动能，记做
\[W_c = \beta W_t \tag{1}\]β 是先导位移所需能量占全部能量的系数。 0 < β ≤ 1 。
在单位时间$dt$内，由于通道发展增加的土壤密度 $ρ$和体积增量 ($\pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j }$) 的乘积就是增加的等离子体的质量：$m = \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j }$（其中$r_j$是分支 j 的半径，气体放电最开始会形成很多枝杈，土壤放电我想先把它简化看成只有1条分支，即j=1）
设通道的半径$r_j$和温度 T 是常数：$r_j = r_0$ 和 $T = T_0$
\[W _ { c } = \frac { 1 } { 2 } \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } v _ { j } ^ { 2 } \tag{2}\]其中 $v_j$是分支 j 的速度。可以将整个等离子体通道从上到下的发展分成若干个区域，因为每个区域的压力不同，所以质量也不同进行迭代。其中第n次迭代符合
\[\sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } ( \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } ) v _ { j } ^ { 2 } = \beta \sum _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } E _ { j } d l _ { j } \tag{3}\]其中 $q_j$和 $E_j$ 分别是分支 j 的电荷和电场。 因此，先导通道的每个位移$dl_j$对应的速度为
\[v _ { j } ^ { 2 } = \frac { 2 \beta } { \pi r _ { j } ^ { 2 } \rho } ( \int i _ { j } d t ) E _ { j } \tag{4}\]在文献中描述先导放电电流由许多离散脉冲构成。
令$t_j$ 为脉冲时间$t_{pj}$与停顿时间$t_{0j}$到下一个脉冲的时间之和所对应的时间，即
\[t _ { j } = t _ { p j } + t _ { 0 j } \tag{5}\]和$v_{pj}$和 $v_{0j}$，分别是$t_{pj}$和$t_{0j}$期间的速度。 设 $v_{al}$ 是先导放电发展的平均速度。
\[v _ { a l } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( v _ { p j } t _ { p j } + v _ { 0 j } t _ { 0 j } ) \tag{6}\]根据公式（4）
\[v _ { p j } ^ { 2 } = \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } q _ { p j } E _ { j } \tag{7}\] \[v _ { 0 j } ^ { 2 } = \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } q _ { 0 j } E _ { j } \tag{8}\]将（7）和（8）代入（6）中，得到
\[v _ { a l } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } [ ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } + q _ { 0 j } ^ { 1 / 2 } t _ { 0 j } ) ] \tag{9}\]$v_{0j}$通常相对于$v_{pj}$可以忽略不计。 $v _ { 0 j }$是在时间$t_{0}$期间先导发展的平均速度。
假设 $r_j$, β, ρ 和 $E_j$ 在整个传播过程中保持不变，发展的平均速度可写作
\[v _ { a l } = ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } + q _ { 0 j } ^ { 1 / 2 } t _ { 0 j } ) ) \tag{10}\]当忽略$v_{0j}$时，有
\[v _ { a l } \cong ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) ) \tag{11}\]$E_j$和/或 $q_{pj}$ 越高，先导发展的平均速度就越高。
在高温下，所有气体都可以被认为是完美的。由于先导是高度电离的土壤等离子体 (T ≥ 1000 K) ，还不确定是否可以如此应用气体定律，如果按照完美的气体定律有
\[p V = \frac { m } { M } R T \tag{12}\]其中 p、V、m、R、T 和 M 分别是压力、体积、通道质量、理想气体常数、温度和通道的摩尔质量。
由于密度 ρ 等于 m/V，可以得到
\[\rho = \frac { M } { R } \frac { p } { T } \tag{13}\]因此式（13）可以写为
\[\rho ( kg m ^ { - 3 } ) = \frac { k } { T ( K ) R } \tag{14}\]其中，$k = Mp$
气体等离子体的压力是恒定的，所以k也是定值，但土壤由于深度不同，由于重力的影响，此时的k应该是变化的，如何变化还需要进一步确定。
对每一步先导发展来说，场强 $E_j$ 是必不可少的。该场强$E_j$ 与沿通道分布的总电荷有关。 Szpor (1971) 提出了这一假设，可以使用双曲线近似来估计：
\[E _ { j } = \frac { 2 U _ { j } } { R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { z } } { R _ { e } } ) ] } \tag{15}\]$L_z$和 D 分别是前导轴向长度和间隙长度，$U_j = U − \Delta U_j$是先导尖端上的电压（其中 U 是电极上施加的电压，$\Delta U_j$是沿通道的电压降）和 $R_e$ 等效电极的半径。
$R_e$ 可以表示为等离子长度的线性关系
\[R _ { e } = \alpha L_z \tag{16}\]按照试验后的土壤挖掘结果，$\alpha \cong 1/10$
联立式 (11)、(14) 和 (15)
\[v _ { a l } = ( \frac { 4 \beta T _ { 0 } U _ { j } R } { \pi r _ { 0 } ^ { 2 } k R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { z } } { R _ { e } } ) ] } ) ^ { 1 / 2 } \times ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) ) \tag{19}\]先导的速度取决于先导尖端 $U_j$ 处的电压、其轴向长度 $L_z$ 和其他物理参数， 还有参数$\beta$。
通过以上计算，就可以按照发展步长计算出先导放电的等离子体通道深入土壤内的长度，该长度应该是和土壤的等效电阻挂钩的，这种长度和等效电阻的关系还需要进一步进行确定。
目前推导是一种可能的计算方法，还没进行更深入的研究，其中的一些参数的获取还需要做进一步研究。
在本文中，我们提出并讨论了先导电流、电荷、速度和先导传播模式之间的关系。 通过使用能量考虑，我们建立了一个数学表达式，该表达式只需要物理参数，并允许人们评估前导的速度或前导传播过程中消耗的能量的小数部分 β。 获得的 β 值给出的先导速度在形状和幅度上与长气隙放电的实验测量结果非常一致。
使用模型来帮助物理理解空气放电并预测对电气工程有用的值，其历史几乎与研究击穿现象本身一样长。 非均匀场中的正先导形成和传播已成为许多实验和理论工作的主题（Klewe 等人 1987，Les Renardières group 1977，Gallimberti 1979，Gary 等人 1984）。 已经提出了不同的模型来描述放电机制。 这些主要是定性的。 事实上，有许多不同的模型涵盖了放电过程的每个阶段，但不存在完美的模型。 它们要么是纯经验的、半经验的、半物理的，甚至是纯物理的（Klewe 等，1974）。
制作可靠模型的困难在于放电中发生的现象的复杂性。 出于连续性的目的，我们总结了构成正脉冲电压放电事件的主要时间顺序。 当电场强度达到足够高的值时，在产生适当的自由电子的时滞之后开始放电。 然后，发生第一次电离过程：这是第一次电晕。 这通常采用丝状通道或飘带的形式。 作为电晕生长的结果，净正电荷迅速注入间隙。 在日冕飘带的根部，观察到一个短的明亮通道（茎）。 放电的进一步发展起源于这个茎。 下一阶段取决于可能导致火花引导通道的间隙中电场的不均匀程度。 在任何情况下，先导生长通常先于二次电晕放电。 其传播速度取决于电极的几何形状和施加的电压。 平面方向前导的增长是连续的或不连续的。 当外加电压的增加率太低时，先导会逐步增长。 领导者传播的最后阶段被称为最终跳转。 这是leader传播的最后阶段，不可避免地会导致gap的短路。
已经提出了各种数学表达式（Pigini et al 1989）来关联瞬时先导速度。 这些通常取决于电压和间隙中领先者的位置。 其中一些纯粹是经验性的，仅在必须准确定义的某些条件下才有效。 由于存在偏离其有效性领域的风险，因此在处理经验模型时必须小心。
在这项工作中，我们提出了一个基于能量考虑的数学表达式，它允许人们评估传播速度或用于前导位移的动能的分数部分。 将获得的结果与其他人通过实验获得的结果进行比较。
我们使用的方法类似于 Béroual (1993) 在另一种电介质中提出的方法。 在先导的传播过程中，总能量$W_t$以不同的形式消耗：热能、电离、辐射等。$W_t$的一部分（动能）将转移到前导通道，使其延长距离$dl_j$。 称 $W_c$ 为动能，我们可以写成
\[W_c = \beta W_t \tag{1}\]β 是先导位移所需的全部能量的小数部分。 它在 0 < β ≤ 1 的范围内。
近年来，对长火花开发的理解的重大改进是基于对先导通道中发生的流体动力过程的分析（Les Renardières group 1986）。 引线在膨胀中表现为流体。 在时间 $dt$ 期间，添加到通道的质量等于气体密度 $ρ$和体积增量 ($\pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j }$) 的乘积：$m = \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j }$（其中$r_j$是分支 j 的半径 ）。
在这项工作中，我们将假设通道新分支的半径$r_j$和后者的温度 T 是常数：$r_j = r_0$ 和 $T = T_0$
\[W _ { c } = \frac { 1 } { 2 } \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } v _ { j } ^ { 2 } \tag{2}\]其中 $v_j$是分支 j 的速度。 考虑到放电由$n$ 个步骤组成，每个步骤都可以同化为一个圆柱形通道，我们可以写出任何时间（Béroual 1993）：
\[\sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } ( \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } ) v _ { j } ^ { 2 } = \beta \sum _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } E _ { j } d l _ { j } \tag{3}\]其中 $q_j$和 $E_j$ 分别是分支 j 的电荷和其头部的电场。 因此，领导者的每个位移$dl_j$对应的速度将为
\[v _ { j } ^ { 2 } = \frac { 2 \beta } { \pi r _ { j } ^ { 2 } \rho } ( \int i _ { j } d t ) E _ { j } \tag{4}\]通常，先导电流由许多离散脉冲构成（Gary et al 1984, Ortéga 1992）。 总电荷是从电流脉冲的积分中推导出来的所有基本电荷的总和（Ortéga 1992），它会随着步骤而变化。 每个基本电荷都有助于领导者的部分传播。 需要注意的是，两个连续电流脉冲之间的电流所对应的电荷相对于单个脉冲所对应的电荷可以忽略不计。
令$t_j$ 为脉冲时间$t_{pj}$与停顿时间$t_{0j}$到下一个脉冲的时间之和所对应的时间，即
\[t _ { j } = t _ { p j } + t _ { 0 j } \tag{5}\]和$v_{pj}$和 $v_{0j}$，分别是$t_{pj}$和$t_{0j}$期间的速度。 设 $v_{al}$ 是前导通过电极间隙的平均速度。 然后
\[v _ { a l } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( v _ { p j } t _ { p j } + v _ { 0 j } t _ { 0 j } ) \tag{6}\]n 是先导放电的step。
根据公式（4）
\[v _ { p j } ^ { 2 } = \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } q _ { p j } E _ { j } \tag{7}\] \[v _ { 0 j } ^ { 2 } = \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } q _ { 0 j } E _ { j } \tag{8}\]将（7）和（8）代入（6）中，我们得到
\[v _ { a l } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } [ ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } + q _ { 0 j } ^ { 1 / 2 } t _ { 0 j } ) ] \tag{9}\]$v_{0j}$通常相对于$v_{pj}$可以忽略不计。 实际上，$v _ { 0 j }$是在时间$t_{0}$期间前导器的平均速度，这是在前导器尖端重建电荷并达到允许前导器移动新一步的电场临界值所必需的。
假设 $r_j$, β, ρ 和 $E_j$ 在整个传播过程中保持不变，我们将获得领导者的平均速度如下：
\[v _ { a l } = ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } + q _ { 0 j } ^ { 1 / 2 } t _ { 0 j } ) ) \tag{10}\]当忽略$v_{0j}$时，我们将有
\[v _ { a l } \cong ( \frac { 2 } { \pi r _ { j } ^ { 2 } } \frac { \beta } { \rho } E _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) ) \tag{11}\]似乎$E_j$和/或 $q_{pj}$ 越高，先导发展的平均速度就越高。
在高温下，所有气体都被认为是完美的。 由于先导是高度电离的等离子体 (T ≥ 1000 K) (Gallimberti 1979, Domens 1987)，因此可以应用完美气体定律。 因此
\[p V = \frac { m } { M } R T \tag{12}\]其中 p、V、m、R、T 和 M 分别是压力、体积、通道质量、理想气体常数、温度和通道的摩尔质量。
由于密度 ρ 等于 m/V，我们得到
\[\rho = \frac { M } { R } \frac { p } { T } \tag{13}\]前导阶段是非爆炸性的，前导压力可以被认为是恒定的（Les Renardières group 1977，Domens 1987）并且大约等于大气压力（Gallimberti 1979）。 因此
\[\rho ( kg m ^ { - 3 } ) = \frac { k } { T ( K ) R } \tag{14}\]其中，$k = Mp$
在目前的情况下，R 与温度有关（Les Renardières group 1986）。 事实上，它取决于气体粒子的平均分子质量，它受 $O_2$ 和 $N_2$分子解离的影响，反之，受 O 和 N 原子重组的影响。 因此，方程 (14) 表示 ρ 和 T 之间的非线性状态关系。
频道的结局值得怀疑。 该结束对于尖端上的合成场强 $E_j$ 是必不可少的。 $E_j$ 是通道向下增长的重要情况。 该场$E_j$ 与沿通道分布的总电荷有关。 Szpor (1971) 提出了这一假设。 可以使用双曲线近似来估计（Hutzler 和 Hutzler 1982）：
\[E _ { j } = \frac { 2 U _ { j } } { R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { z } } { R _ { e } } ) ] } \tag{15}\]$L_z$和 D 分别是前导轴向长度和间隙长度，$U_j = U − \Delta U_j$是前导尖端上的电压（其中 U 是电极上施加的电压，$\Delta U_j$是沿通道的电压降）和 $R_e$ 等效电极的半径。
根据 Hutzler 和 Hutzler (1982)，$R_e$ 可以表示为线性关系
\[R _ { e } = \alpha S \tag{16}\]其中 S 是拖缆长度，α 是取决于电极形状的比例系数。 通过凭经验调整 α，他们获得了令人满意的结果，其值等于 1/17。
对实验结果的分析表明，拖缆长度取决于许多参数。 当先导开始传播时，S 的值特别受阳极形状和电压增加率的影响：第一次电晕放电区域的大小决定了流光的长度（Hutzler 和 赫茨勒 1982）。 最终，第一次电晕放电区域的影响下降并最终消失。 然后，流注长度 S 取决于前导长度和“过电压系数”。 后者由比率 U j /U 0 定义，U 0 是要施加到前导尖端的电压，允许其获得与空气中的临界场相等的局部场。 已经表明（Hutzler 和 Hutzler 1982）实验结果可以正确地由以下 S 表达式表示：
\[S = \frac { U _ { j } } { U _ { 0 } } \frac { 4.25 } { 1 + ( 3.5 / L ) } + S _ { i } \operatorname { exp } ( \frac { L _ { z } } { - 0.8 S _ { i } } ) \tag{17}\]其中 $S_i$和 $L$ 分别是第一条日冕流光和前导的长度。 术语 $exp[−L_z /(0.8S_i )]$简单地解释了这样一个事实，即领导者一旦时间足够长就会“忘记”第一个日冕。 因此，只有第一项具有显着的权重。 当传播发生在最佳条件下时，U j 与U 0 有很大不同。 对于较长的前导，流光长度 S 趋向于极限形式：
\[S = \frac { 4.25 } { 1 + ( 3.5 / L ) } \tag{18}\]等式 (11)、(14) 和 (15) 给出
\[v _ { a l } = ( \frac { 4 \beta T _ { 0 } U _ { j } R } { \pi r _ { 0 } ^ { 2 } k R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { z } } { R _ { e } } ) ] } ) ^ { 1 / 2 } \times ( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) ) \tag{19}\]前导的速度似乎取决于前导尖端 $U_j$ 处的电压、其轴向长度 $L_z$ 和其他物理参数。 速度的知识需要 β 的参数。
对先导平均速度的了解使我们能够确定前导位移中使用的可用能量的平均部分。 可以根据等式 (19) 推导出通过电极间隙直到最终跳跃阶段之前的步骤的不同传播步骤的 β 值：
\[\beta = \frac { v _ { a l } ^ { 2 } \pi r _ { 0 } ^ { 2 } \rho R _ { e } \operatorname { ln } [ 4 ( \frac { D - L _ { s f } } { R _ { c } } ) ] } { 4 U _ { s f } } ( \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n } t _ { j } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { p j } ^ { 1 / 2 } t _ { p j } ) } ) ^ { 2 } \tag{20}\]$L_{sf}$和$U_{sf}$ 分别是最后一次跳跃开始时的前导长度和前导尖端上的电压。 这些可以从经验方程确定。 通过让 $U_{sf}$等于 50% 的闪络电压 ($U_{50}$)，它变成 (Ortéga 1992)：
\[L _ { s f } = D - \frac { U _ { 50 } - 0.15 } { 0.44 } \tag{21}\]$U_{50}$由以下经验方程确定（Ortéga 1992）：
\[U _ { 50 } = \frac { 3400 } { 1 + 8 / D } \quad ( KV m ) \quad \text { for } 2 m < D < 15 m \tag{22}\] \[U _ { 50 } = 1400 + 55 D \quad ( kV m ) \quad \text { for } 15 m < D < 30 m \tag{23}\]According to Garcia and Hutzler (1974)
\[U _ { s f } = 0.15 + 0.44 h _ { s f } \tag{24}\]其中 $h_{sf}$ 是最后一次跳跃的高度。
例如，让我们考虑具有电极间隙的实验数据，我们知道注入间隙的电荷形状以及 r 0 和 v al 的平均值（图 1）（Ortéga 1992）。 根据文献报道的结果，T 0 = 1000 K（Les Renardières group 1977，Gary et al 1984），因此气体密度为ρ = 0.15 kg m -3 （Les Renardières group 1986）。(Les Renardières group 1986)。 通过计算方程 (20)，我们得到 D = 2.9 m，β = 0.10。
对于另一组实验数据（D = 16.7 m，锥面间隙 750/10000 µs），我们知道注入间隙的电荷形状（Domens 1987）和平均值 v al = 2 ms -1 并且r 0 = 0.5 × 10 -3 m，我们得到β = 0.09。 第一印象是几乎恒定的 β 值。 这两个例子表明，只有 10% 的总能量转化为动能。 下面我们考虑 β 的平均值：让 β = 0.10。
等式（20）表明β取决于许多参数，其中一些参数例如L sf 、V al 、D 和R e 是相互关联的。 所以，我们必须强调，温度T 0 也随着领导者的发展而变化。 由于我们只考虑前导尖端的速度，我们假设 T 0 是常数。
根据等式（1），我们可以写成
\[d W _ { c } = \beta d W _ { t }\]（假设 β 是常数）。 因此，对于每个位移 dl j ，我们将有
\[\frac { 1 } { 2 } \rho \pi r _ { j } ^ { 2 } d l _ { j } v _ { j } ^ { 2 } ( t ) = \beta d W _ { j } ( t ) \tag{25}\]（dW j (t) = dW t (t) 对于步骤 j）。 由于 dl j = v j dt（dt 是步骤的持续时间），T = T 0 和 r j = r 0，我们得到
\[\frac { 1 } { 2 } \rho \pi r _ { 0 } ^ { 2 } v _ { j } ^ { 3 } ( t ) d t = \beta d W _ { j } ( t ) \tag{26}\]然后可以得到
\[v _ { j } ( t ) = ( \frac { 2 \beta } { \rho \pi r _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d W _ { j } ( t ) } { d t } ) ^ { 1 / 3 } \tag{27}\]或者
\[v _ { j } ( t ) = ( \frac { 2 \beta } { \rho \pi r _ { 0 } ^ { 2 } } P _ { j } ( t ) ) ^ { 1 / 3 } \tag{28}\]P j (t) 是瞬时注入功率
\[P _ { j } ( t ) = \frac { d W _ { j } ( t ) } { d t } \tag{29}\]最后，根据(14)，我们将有
\[v _ { j } ( t ) = ( \frac { 2 \beta T _ { 0 } R } { k \pi r _ { 0 } } P _ { j } ( t ) ) ^ { 1 / 3 } \tag{30}\]从上面的表达式看来，W j 或P j 的知识是计算v j 所必需的。 在最近的一项工作中（Fofana 和 Béroual 1995b），我们开发了一个数学模型，使我们能够使用等效的电气网络评估引线和回程电流。 除了电流（前导和回程）外，该模型还允许我们确定相应的电荷、沿前导通道的电位降、功率和注入间隙的能量（对于给定的电压和电极配置）。
萨哈方程给出了自由粒子和绑定在原子中的粒子之间的关系，为了推导出萨哈方程，选择一组一致的能量。当电子速度为零的时候，电场强度$E = 0$，所以，对于$n = 1$时，电场强度$E = -I$。忽略更高能级，因为根据玻尔兹曼公式，电子只需要能级$n = 2$的1/4的能力即可以发生电离。
\[E = \frac { Z } { n ^ { 2 } } ( - 13.6 eV ) \tag{1}\]设一个特定的气体N中有$N_e$个电子的概率为$S ( N _ { e } , N )$。每类粒子的分配函数为
\[Z _ { e } \equiv \sum _ { n } e ^ { - E ( n ) / ( k T ) } \tag{2}\] \[Z _ { p } \equiv \sum _ { n } e ^ { - E ( n ) / ( k T ) } \tag{3}\] \[Z _ { H } \equiv \sum _ { n } e ^ { - E ( n ) / ( k T ) } \tag{4}\]因此，假设粒子无差别，概率函数为：
\[S ( N _ { e } , N ) = \frac { Z _ { e } ^ { N _ { e } } } { N _ { e } ! } \frac { Z _ { p } ^ { N _ { p } } } { N _ { p } ! } \frac { Z _ { H } ^ { N _ { H } } } { N _ { H } ! } \tag{5}\]由于粒子具有连续的动量分布，所以概率函数求和执行积分操作
\[Z _ { i } = \int g _ { i } e ^ { - [ p ^ { 2 } / ( 2 m ) ] / ( k T ) } \frac { d ^ { 3 } x d ^ { 3 } p } { h ^ { 3 } } \tag{6}\]其中$i$是$e$或$p$。
\[d ^ { 3 } p = 4 \pi p ^ { 2 } d p \tag{7}\]则可以推出
\[Z _ { i } = \frac { 4 \pi g _ { i } } { h ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } x \int _ { 0 } ^ { \infty } p ^ { 2 } e ^ { - [ p ^ { 2 } / ( 2 m ) ] / ( k T ) } d p \tag{8}\]设
\[y ^ { 2 } \equiv \frac { p ^ { 2 } } { 2 m k T } \tag{9}\] \[2 y d y = \frac { p } { m k T } d p \tag{10}\] \[p d p = 2 m k T y d y \tag{11}\]则
\[\left. \begin{array} { l }{ Z _ { i } = \frac { 4 \pi g _ { 1 } V } { h ^ { 3 } } ( 2 m k T ) ^ { 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 2 m k T ) y ^ { 2 } e ^ { - y ^ { 2 } } d y }\\{ = 4 \frac { \pi g _ { 1 } V } { h ^ { 3 } } ( 2 m k T ) ^ { 3 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { 2 } e ^ { - y ^ { 2 } } d y }\\{ = 4 \frac { \pi g _ { 1 } V } { h ^ { 3 } } ( 2 m k T ) ^ { 3 / 2 } \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } }\\{ = \frac { g _ { i } V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m k T ) ^ { 3 / 2 } } \end{array} \right. \tag{12}\]由于电子和质子都是费米子。
\[g _ { e } = g _ { p } = 2 \tag{13}\]由于
\[Z _ { e } = \frac { 2 V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } \tag{14}\] \[Z _ { p } = \frac { 2 V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { p } k T ) ^ { 3 / 2 } \tag{15}\]则，除了结合能项是通过假定$g_H = 4$外，$Z_H$的推导结果是固定的。
\[Z _ { H } = \frac { 4 V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { H } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { I / ( k T ) } \tag{16}\]我们想找到最可能的状态，所以应该对公式(2)进行微分。然而，由于$ln(x)$是单调函数，$lnf(x)$和$f(x)$将在同样位置存在最大值。因此，对公式（5）取log操作，并利用斯特林近似以及$n \gg 1$可得。
\[\operatorname { ln } n ! \approx n \operatorname { ln } n - n \tag(17)\]则结果有
\[\left. \begin{array} { l }{ \operatorname { ln } S = N _ { e } \operatorname { ln } Z _ { e } + N _ { p } \operatorname { ln } Z _ { p } + N _ { H } \operatorname { ln } Z _ { H } - N _ { e } \operatorname { ln } N _ { e } }\\{ + N _ { e } - N _ { p } \operatorname { ln } N _ { p } + N _ { p } - N _ { H } \operatorname { ln } N _ { H } + N _ { H } . } \end{array} \right. \tag{18}\]定义
\[N _ { e } \quad = \quad N _ { p } \tag{19}\] \[N _ { H } = N - N _ { e } \tag{20}\]对式（18）进行微分
\[\left. \begin{array} { l }{ \frac { d ( \operatorname { ln } S ) } { d N _ { e } } = \operatorname { ln } Z _ { e } + \operatorname { ln } Z _ { p } - \operatorname { ln } Z _ { H } }\\{ - \operatorname { ln } N _ { e } - \operatorname { ln } N _ { e } + \operatorname { ln } ( N - N _ { e } ) = 0 } \end{array} \right. \tag{21}\]得到如下关系式
\[\frac { Z _ { e } Z _ { p } } { Z _ { H } } = \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { N - N _ { e } } \tag{22}\]将公式（14）~（16）带入式（22）中
\[\frac { [ \frac { 2 V ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } ] [ \frac { 2 V ( 2 \pi m _ { p } k T ) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } ] } { [ \frac { 4 V ( 2 \pi m _ { H } k T ) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } ] e ^ { I / ( k T ) } } = \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { N - N _ { e } } \tag{23}\]假设$m _ { H } \approx m _ { p }$
\[\frac { V } { h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - I / ( k T ) } = \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { N - N _ { e } } \tag{24}\] \[\frac { ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - I / ( k T ) } } { h ^ { 3 } } = \frac { n _ { e } ^ { 2 } } { n - n _ { e } } \tag{25}\]定义电离分数为
\[X \equiv \frac { n _ { e } } { n } \tag{26}\]则
\[\frac { X ^ { 2 } } { 1 - X } = \frac { 1 } { n h ^ { 3 } } ( 2 \pi m _ { e } k T ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - I / ( k T ) } \tag{27}\]瑰夏的故事从1936年说起，当时埃塞俄比亚还是英国的殖民地，Richard Whalley上尉（也可能是上校）是埃塞俄比亚玛吉地区的领事，他在瑰夏山周围收集了10磅的咖啡种子。这些种子是如何到达翡翠庄园的，以及如何发现它们独特风味表现的故事，反应了全球咖啡贸易的复杂性，以及夹杂其中的一些阴暗历史。
Whalley上尉是收到当时肯尼亚农业部长的命令而去收集种子的，这个命令的目的是为了调查埃塞俄比亚野生咖啡的种类。埃塞俄比亚的森林是咖啡物种的发源地，而调查的目的是为了研究咖啡作为商业农产品的可行性，希望咖啡可以在英国殖民地的其他地方进行种子。即使在1930年代，咖啡贸易商们就听说过瑰夏地区说产优质咖啡的名头。
这里要做一个说明，在埃塞俄比亚，我们说说的瑰夏地区记为“Gesha”或“Gecha”，而后期如何转变成“Geisha”并不为人所知。而确定的是Whalley上尉所采集的10磅咖啡种子的位置在瑰夏山（Geisha Mountain）附近。所以瑰夏也就是“Geisha”这个名字在被送到坦桑尼亚和哥斯达黎加翡翠庄园后被坚持了下来。种子首先被基因研究所等机构进行研究，而后送到哥斯达黎加的CATIE，最终翡翠庄园从CATIE获得了这些种子。这些种子种出的咖啡树在当时除了对“鸡眼（OJO DE GALLO ）-真菌病”抗病性更强外并没有特别的优势。
翡翠庄园仅仅是看重了瑰夏咖啡抗”鸡眼“病的能力把这种咖啡引入进来。自20世纪60年代开始，在彼得森农场和周围的一些地方进行了种植，但对它们的收获和维护情况各不相同，整个农场里也种植了大量的其他品种的咖啡和一些其他农作物。在20世界90年代，咖啡产业逐渐兴盛，彼得森家族购置了一块新的海拔更高的农场，它被称为Jaramillo农场。而在种植咖啡的过程中遭到了咖啡叶锈病的侵害，而丹尼尔-彼得森注意到，瑰夏咖啡树没收到那么严重的伤害，因此他决定在农场种扩大瑰夏咖啡的种植，包括在海拔超过1650米的地块上，比以前种植瑰夏的海拔要更高。
正是由于在高海拔种植瑰夏咖啡，这使得瑰夏那令人惊奇的香气变得清晰，这引发了2004年的事件。在每年一度的”最佳巴拿马“咖啡比赛和拍卖会上，瑰夏咖啡引起了巴拿马一批新时代咖啡生产商的关注。在当年的比赛中，彼得森夫妇干了一件前人未做过的事，在加工咖啡生豆的过程中，他们将农场不同区域的产品分成独立的批次进行处理，其中一个批次就来自Jaramilllo的高处，当喝到这批次的咖啡时，他们都大吃一惊。
这是咖啡师们第一次品尝到100%的瑰夏咖啡样品，当咖啡师品尝时，翡翠庄园提供的咖啡豆有些与众不同的东西，高海拔瑰夏咖啡所蕴含明亮酸质和高香让他们想起埃塞俄比亚的咖啡，而不是巴拿马所在的拉丁美洲咖啡。这种风味一经面世，咖啡师们对其爱不释手，翡翠庄园也凭借瑰夏咖啡赢得了2004年”最佳巴拿马“的冠军，并且在当年拍卖出历史最高价格。
从那时起，翡翠庄园就致力于改善高海拔瑰夏咖啡的种植，包括水洗以及其他自然加工处理方法的试验。并且进行更细致的批次分离，研究在不同微气候环境下瑰夏的生长状态。这种试验精神促使我们开始了长达十数年的其他咖啡品种的探索，在翡翠庄园最新的农场El Velo的山上种植了400个不同的品种。虽然翡翠庄园的瑰夏咖啡复活了全世界咖啡师们的心，但谁知道什么咖啡会称为下一个伟大的咖啡豆呢？
由中等电压（MV）网络中的倾斜树引起的高阻抗电弧故障被建模并通过实验验证。故障分为两部分;弧形模型和高阻力。电弧由倾斜的树向网络导体产生，树电阻限制故障电流。使用热方程动态模拟电弧元件。使用实验结果确定电弧模型参数和电阻值。通过ATP / EMTP程序模拟故障行为，其中使用通用弧表示来实现电弧模型。实验结果验证了系统的瞬态模型。离散小波变换用于提取故障特征，从而定位故障事件。研究发现，当使用离散小波变换时，电弧再点火可以增强故障检测。
高阻抗故障通常会吸收传统继电器无法检测到的小电流。当这些故障持续存在时，它对人类和电气设备都是危险的，特别是当它们与电弧相关时。这种故障在配电网络中很常见[1]。因此，已经引入了许多保护算法来检测这些故障[1-7]。
在北欧国家，断层类别分为雪负荷35％，倒下的树木27％，杆式变压器树枝9％，挖掘机6％，闪电冲动6％，其余可能由动物引起。由于森林面积，电网由于倾斜的树木而暴露于断层[2]。由于树的高电阻，该故障被归类为高阻抗。
最近，记录的现场数据已用于增强保护继电器性能[2-4]。这些数据用于网络异常情况的实际调查或测试继电器的可靠性及其安全性。但是，它们不适用于建模故障，尤其是高阻抗故障。这是因为不能使用网络终端处的测量来管理故障特征。此外，故障情况并不是众所周知的，并且这种数据不能提供基于保护功能的可靠依据。
因此，许多研究人员在真实网络上进行了实际的故障事件，并从最终已知的事件和位置捕获了故障数据[4-7]。使用这些数据引入实际保护功能是值得的，特别是如果在故障分支和测量终端都记录了故障事件。然而，它对电网施加了高风险和严重风险，并且存在对进一步使用分级故障的限制。另一方面，实验工作仍然用于确定与电弧相关的高阻抗故障的特征[8]。然而，这些研究不足以管理在网络中的多个位置同时发生多个故障的情况。
为了克服获得分级故障数据或研究电网中困难异常情况的复杂性，在不同位置的网络中结合的精确故障建模再现了众所周知的故障情况。雪崩数据也可用于引入和检查继电器功能。故障建模需要实验数据来满足其方程式及其参数。因此，在本文中，使用实验装置来建立倾斜树型的高阻抗故障。测试结果用于模拟故障。确定模型参数。使用ATP / EMTP包实施实验工作。使用电阻表示树阻抗，并且通过热模型对弧元素建模并且使用ATP代码中的通用弧表示来实现。仿真结果与实验结果进行了对比，验证了故障模型的有效性。然后，使用离散小波变换（DWT）分析故障信号，并且还使用模拟的20kV未接地网络的终端数据来讨论其检测。
原文地址 blog.csdn.net
上篇博客中提到，简单的 RNN 结构求解过程中易发生梯度消失或梯度爆炸问题，从而使得较长时间的序列依赖问题无法得到解决，其中一种越来越广泛使用的解决方法就是 Long Short Term Memory network (LSTM)。本文对 LSTM 做一个简单的介绍，并用 python 实现单隐藏层 LSTM。
参考资料：
原文地址 blog.csdn.net
一，使用斜体的情况：
1) 变量 (variables) 应该用斜体表示：例如 T 表示温度(temperature)，r 表示速率(rate).
注意：即便用变量来作为形容词的组成部分，依然要保持斜体，
举例：In this equation, is the frequency of the th mode.
2) 坐标轴 (axes)：the axis.
3) 平面 (planes)：plane .
4) 行列式 (determinants) 和矩阵 (matrices) 中的元素：.
5) 常数 (constants) 符号: : 玻尔兹曼常数； : 重力加速度
6) 描述变量的函数:.
应该购买家用意式咖啡机吗？
在咖啡界有一个观点，就是家用意式咖啡机是没有存在的价值的，这种观点是那么的深入人心以至于，即使咖啡师用家用咖啡机也做出了好喝的咖啡依然不承认家用咖啡机的价值，给出的建议是家用咖啡机的最低价格不能低于6800块左右。
他们说家用咖啡机不适合家庭使用的原因在于
那什么是适合家用咖啡机的呢？摩卡壶和手冲。
上面这种观点的谬误之处在于，他们用专业咖啡师的需求去要求家用咖啡机，并用咖啡品评师的水准定义普通喝咖啡的人群。