Overview of Differential Equations
https://www.youtube.com/watch?v=ghjOS7Q82s0&list=PLUl4u3cNGP63oTpyxCMLKt_JmB0WtSZfG&index=2
一个典型的一阶的微分方程
$\frac { d y } { d t } = a y + q ( t )$
该方程描述的是y的变化率由y自己的解来决定，同时会在等式右端引入一个激励。这是一个线性的y的方程，因为y是一次的。
$\frac { d y } { d t } = f ( y )$
这可能是一个非线性的，因为$f(y)$可以是y的任何函数，可以是$y^2$、$sin(y)$、$e^y$等等可能形式。
这里可以形象的理解，y是弹簧的长度，$\frac { d y } { d t }$是弹簧长度的变化率。
二阶微分方程
$\frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } = - k y$
二阶微分方程可理解为加速度，也是区间的弯折率（beding of a curve），一阶微分方程给的是曲线的方向，是上升还是下降，二阶微分方程给的是曲线向上弯还是向下弯，也就是凸函数还是凹函数。也可以理解为力的变化加速度，而线性的与y有关。
更一般的形式
$m y ^ { \prime \prime } + b y ^ { \prime } + k y = f(t)$
$m y ^ { \prime \prime }$理解为加速度乘以质量，第二项$b y ^ { \prime }$表示阻尼，速度的变化量，第三项是一些强制条款，取决于y自己，$f(t)$是一些外部因素。
我们可解的是线性常微分方程，Linear Constant Coefficients，这样的微分方程我们认为是good equations。
对于不好的方程，比如非线性方程，比如不是常微分方程，即系数（m/k/b）是不变的方程，则需要用数值方法求解。
一个系统经常不止是一个方程，是Systems of n equations.
$\frac { d y } { d t }= A y$其中A是矩阵 $\frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } = - S y$
特征值和特征向量。
数值解法很重要Numerical Solutions
目前很好用的方法是Ode45.
而Euler方法可看做是Ode1，Ode45具有更高的精度。“Ode 4 and 5”
偏微分方程，有2个变量，以下是热力学方程，时间以及x是空间向量。
$\frac { \partial u } { \partial t } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } }$
以上是一个很重要常微分方程。（PDE，Partial differential equations）偏微分方程
$\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } }$
上面是波动方程。
拉普拉斯方程。
$\frac { \partial ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { d y ^ { 2 } } = 0$